Le nombre PI, décimales et algorithmes
Dernière mise à jour: octobre 2007 (André Brouty)
Cet exposé est sous licence libre LLDD.
Introduction
On trouve facilement de la documentation sur PI et sur les algorithmes de calcul, mais rarement comment implémenter un tel algorithme. C'est pour combler cette lacune que cette petite page sur ce sujet a été écrite.Implémentation complète d'un algorithme
Il existe de nombreux algorithmes de calcul de PI, chacun adapté au type de machine ou de performance que l'on veut obtenir. Ici nous avons utilisé un algorithme simple: la formule de Machin:
PI = 16arctg(1/5) - 4arctg(1/239)
Cette formule n'est pas la meilleure mais la plus simple à mettre
en oeuvre, et elle s'avère performante sur des machines à mots de
32 bits pour calculer quelques miliers de décimales. La difficulté
de l'implémentation réside dans la mise en oeuvre des calculs
en muliprécision nécessaires pour le calcul de plusieurs centaines
de milliers de décimales. Comment faire ? Cliquez.
Accès aux décimales
PI en base 2
Disposer des décimales de PI en base 2, permet de voir facilement si les décimales de PI sont aléatoires (voir paragraphe suivant) et dans ce cas d'avoir une base de données permettant un tirage aléatoire de deux valeurs en la parcourant. Voici comment écrire PI en base 2 puis consulter la listes des décimales obtenues.
Les décimales de PI sont-elles aléatoires ?
De nombreuses études ont été faites la-dessus. Pour le savoir
de manière simple, nous allons passer PI en base 2 et comparer la
distribution des décimales au jet aléatoire d'une pièce
de monnaie. Un petit peu de calcul des probabilités,
suivez le guide.
Accès aux programmes de calcul
- Programme simple , ne calcule que les décimales de pi sur sur 32 bits, taille: 4856 octets.
- Programme sophistiqué, calcule les décimales en base 10 ou en base 2 et sait utiliser les 32 ou 64 bits du mot mémoire de la machine cible, taille: 11316 octets
Bibliographie
- John Wrench "The evolution of extended decimal approximation to pi" The mathematics teacher 1960
- Daniel Shanks, John Wrench "Calculation of pi to 100 000 decimals" Mathematics of computation, September 1961
- Science et vie "Si pi vous était compté... avec 500 000 décimales" N0 665 février 1973.
- Salamin: "Computation of pi using Arithmetic-Geometric Mean" Mathematics of computation July 1976 pp 565-570