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  pourquoi les banquiers n'ont pas de lingots sphériques
  
• Le nombre pi
  décimales et algorithmes
  
• L'axiome du choix
  polémiques et paradoxes
  
• Fonctions continues sans dérivées
  les monstres qui effrayaient Charles Heremite
• Les géométries non euclidiennes
  D'Euclide à Poincaré, la saga des figures étranges
  
• 1+2+3+... = -1/12
  vu dans "Ciel et Espace" N0 238 page 32
  
• La logique formelle
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définition

Dans Rⁿ on définit les deux ensembles suivants pour un réel r positif:

B_rⁿ = {x₁,⋯,x_n | x₁²+ ⋯ +x_n² ≤ r²}
S_rⁿ⁻¹ = {x₁,⋯,x_n | x₁²+ ⋯ +x_n² = r²}

Le premier est appelé la boule de rayon r et le second la sphère de rayon r. Nous nous intéresserons à la mesure du volume du premier, le second s'en déduisant par dérivée. Une sphère en dimension supérieure à trois s'appelle parfois une hypersphère; ici nous continuerons de l'appeller sphère.

La méthode classique de calcul

Cette méthode consiste à partir de la définition classique du volume d'un ensemble B vérifiant les bonnes propriétés

Vol( B) = ∫∫⋯ ∫∫_Bn dx₁dx₂ ⋯ dx_n

de calculer la valeur de cette intégrale par un changement de variable approprié. Dans le cas de la boule on utilise le passage en coordonnées sphériques (hypersphériques) qui transforme la boule en un parallélépipède (hyperparallélépipède) sur lequel l'intégration se fait aisément par séparation des variables.

0.1  Cas n=0

Ce cas est singulier car l'espace est alors réduit à un point et on peut dire que le volume est 0. Cette valeur ne peut être que conventionnelle car il n'existe pas de géométrie à un point (il en faut au moins 3) et encore moins de théorie de l'intégration.

Cas n=1

Ce cas est facile la boule de rayon r étant réduite au segment [-r,+r] sa mesure est la longeur du segment: 2r

Cas n=2

C'est le cas du plan. Le changement de variable est fait par les classiques coordonnées polaires dans le domaine [0,+r]× [0,2π ] qui réalise une bijection avec la boule de rayon r, avec le déterminant fonctionnel associé:

x1=lsinθ1

x2=lcosθ1

|	sinθ1	lcosθ1	|
Δ2 = |			| = −lsin2θ1 − lcos2θ1 = −l
|	cosθ1	−lsinθ1	|

et la valeur de l'aire est:

Cas n=3

c'est le cas de l'espace. Le changement de variable est fait par les classiques coordonnées sphériques dans le domaine [0,+r]× [0,π]× [0,2π ] qui réalise une bijection avec la boule de rayon r, avec le déterminant fonctionnel associé:

x1=lsinθ1sinθ2

x2=lsinθ1cosθ2

x3=lcosθ1

|	sinθ1sinθ2	lcosθ1sinθ2	lsinθ1cosθ2	|
Δ3 = |	sinθ1cosθ2	lcosθ1cosθ2	−lsinθ1sinθ2	|
|	cosθ1	−lsinθ1	0	|

Nous allons calculer le déterminant fonctionnel en le développant par rapport à la dernière colonne, nous obtenons:

|	sinθ1cosθ2	lcosθ1cosθ2	|	|sinθ1sinθ2	lcosθ1sinθ2	|
lsinθ1cosθ2|			| + lsinθ1sinθ2	|		|
|	cosθ1	−lsinθ1	|	|cosθ1	−lsinθ1	|

Dans le premier déterminant mettons cosθ₂ en facteur (première ligne) et sinθ₂ dans le second. Nous obtenons:

|	sinθ1	lcosθ1	|	|sinθ1	lcosθ1	|
Δ3 = lsinθ1cos2θ2|			| + lsinθ1sin2θ2	|		|
|	cosθ1	−lsinθ1	|	|cosθ1	−lsinθ1	|

Δ₃ = lsinθ₁cos²θ₂ Δ₂ + lsinθ₁sin²θ₂Δ₂

Δ₃ = Δ₂lsinθ₁(cos²θ₂ + sin²θ₂) = −l²sinθ₁

et la valeur de l'aire est:

Cas n quelconque

C'est le cas général qui nous intéresse. Nous allons procéder par récurrence en généralisant la méthode ci-dessus et considérer les coordonnées hypersphérique d'un point dans un espace à n dimensions. Si nous passons de la dimension n − 1 à la dimension n nous rajoutons un axe de coordonnées supplémentaire x_n qui sera orthogonal aux n−1 axes du sous espace à n−1 dimensions. Le vecteur OM d'un point M de cet espace fait avec l'axe x_n un angle θ₁ et la projection de M sur cet axe est lcosθ₁, les autres angles étant inchangés dans le sous-espace. Nous obtenons donc les coodonnées hypersphériques qui constituent une bijection continue de la boule de rayon R dans l'hyperparallélépipède [0,R]× [0,π] × ⋯ × [0,π] × [0,2π]

x1=lsinθ1sinθ2sinθ3 ⋯ sinθn−3sinθn−2sinθn−1

x2=lsinθ1sinθ2sinθ3 ⋯ sinθn−3sinθn−2cosθn−1

x3=lsinθ1sinθ2sinθ3 ⋯ sinθn−3cosθn−2

x4=lsinθ1sinθ2sinθ3 ⋯ cosθn−3

⋮

xi=lsinθ1sinθ2sinθ3 ⋯ cosθn−i+1

⋮

xn=lcosθ1

1 < i ≤ n

Nous pouvons donc visualiser le déterminant fonctionnel associé: Δn avec j < i < n − 3

|	sinθ1⋯ sinθn−1	⋯	lsinθ1⋯ cosθj⋯ sinθn−1	⋯	⋯	lsinθ1⋯ sinθn−1	lsinθ1⋯ cosθn−1	|
|	sinθ1⋯ cosθn−1	⋯	lsinθ1⋯ cosθj⋯ cosθn−1	⋯	⋯	lsinθ1⋯ cosθn−1	−lsinθ1⋯ sinθn−1	|
|	sinθ1⋯ cosθn−2	⋯	lsinθ1⋯ cosθj⋯ cosθn−2	⋯		−lsinθ1⋯ cosθn−2	0	|
|	sinθ1⋯ cosθn−3	⋯	lsinθ1⋯ cosθj⋯ cosθn−3	⋯	−lsinθ1⋯ sinθn−3	0	0	|
|	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	|
|	sinθ1⋯ cosθn−1	⋯	lsinθ1⋯ cosθj⋯ sinθn−i+1	⋯	−lsinθ1⋯ sinθn−i+1	0	0	|
|	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	|
|	cosθ1	−lsinθ1	0	⋯	0	0	0	|

De même nous développons ce déterminant par rapport à la dernière colonne et nous mettons en facteur sinθ_n−1 dans le premier déterminant et cosθ_n−1 dans le second et nous obtenons la formule de récurrence:

Δ_n = (−1)ⁿ⁺¹Δ_n−1lsinθ₁sinθ₂⋯ sinθ_n−2cos²θ_n−1 − (−1)ⁿ⁺²Δ_n−1lsinθ₁sinθ₂⋯ sinθ_n−2sin²θ_n−1

Δ_n = (−1)ⁿ⁺¹Δ_n−1lsinθ₁sinθ₂⋯ sinθ_n−2

En développant nous trouvons la formule du déterminant fonctionnel: Ce qui nous donne comme formule de l'hypervolume: Soit La difficulté maintenant est le calcul de Π_i=1ⁿ⁻²∫₀^π(sinθ_n−i−1)ⁱdθ_n−i−1, que nous pouvons écrire Π_i=1ⁿ⁻²∫₀^π(sinθ)ⁱdθ puisque dans l'intégrale les variables θ_i sont liées (ou muettes).
Un calculateur expérimenté reconnait là les intrégrales de Wallis: Ces intégrales vérifient la relation: I_nI_n+1 = π/2(n+1)
Les intégrales que nous devons calculer sont définies sur un intervalle double des intégrales de Wallis, mais comme (sinθ)ⁿ est symétrique par rapport à la droite x = π/2 la valeur de nos intégrales est double de celles de Wallis.
Notons J_n = ∫₀^π(sinθ)ⁿdθ = 2I_n nous avons alors la relation J_nJ_n+1 = 2π/n+1 que nous utiliserons pour les calculs.
Nous distinguerons 2 cas:

cas ou n est pair: n=2p

Dans ce cas on peut écrire:

cas ou n est impair: n=2p+1

Dans ce cas on peut écrire: Il ne reste plus qu'à multiplier ces résultats par ∫₀^rlⁿ⁻¹dl× ∫₀^2πdθ_n−1 = 2rⁿπ/n pour obtenir la mesure du volume de la boule de rayon r en dimension n

Vol(Br2p) = r2pπp/p!

Vol(Br2p+1) = r2p+12p+1πp/1.3.5....(2p+1)

La mesure de la surface de l'hypershère s'obtient en dérivant la fonction volume par rapport au rayon. Cette propriété résulte de la formule de Stokes. On obtient:

Vol(Sr2p) = d/dr(Vol(Br2p+1)) = r2p2p+1πp/1.3.5....(2p−1)

Vol(Sr2p+1) = d/dr(Vol(Br2(p+1))) = 2r2p+1πp+1/p!

Applications

Vol(Br4) = π2r4/2	Vol(Sr3) = 2π2r3
Vol(Br5) = 8π2r5/15	Vol(Sr4) = 8π2r4/3
Vol(Br6) = π3r6/6	Vol(Sr5) = π3r5
Vol(Br7) = 16π3r7/105	Vol(Sr6) = 16π3r6/15
Vol(Br8) = π4r8/24	Vol(Sr7) = π4r7/3

On trouvera dans [BEG] une méthode moins classique est plus générale pour calculer les volumes des variétés différentielles euclidiennes dont la boule est un cas particulier.

Curiosités du calcul

Ces résultats conduisent à une petite incursion dans les espaces de dimensions supérieures à trois où l'on peut y faire d'étranges découvertes. En particulier on remarque que pour un rayon r donné ce volume tend vers zéro quand n tend vers l'infini. Une boule a un tout petit volume dans de grandes dimensions (mauvais pour les joueurs de pétanque).
Mais il y a mieux! Si ce volume décroit vers zéro, c'est qu'il passe par un maximum pour une dimension particulière. Prenons pour simplifier une boule de rayon 1 et examinons son volume suivant les dimensions.

DIMENSIONS	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
VOLUME	2	3.141	4.188	4.934	5.263	5.167	4.724	4.058	3.298	2.550	1.884	1.335

Dans le cas de la boule unité on constate que ce maximum a lieu pour n = 5.
Naturellement cela dépend du rayon de la boule choisi, par exemple pour un rayon de valeur 2, le volume maximal est obtenu pour la dimension 24 (32372.885) alors qu'en dimension 3 il vaut 33.510 et en dimension 60: 3.57.
On laisse au lecteur le soin de calculer dans quel espace devrait vivre un banquier qui conserve des lingots d'or sphériques de 10 centimètres de diamètre pour être le plus riche.
Mais il y a mieux encore! Considérons maintenant la boule unité inscrite dans un hypercube de coté 2, c'est-à-dire que cette boule est tangente aux 2n hyperfaces de l'hypercube. Le volume de l'hypercube est facile à calculer, c'est 2ⁿ. Quand le nombre de dimensions n tend vers l'infini, le volume de l'hypercube croit indéfiniment tandis que celui de la boule tend vers zéro tout en restant tangente aux hyperfaces.

Le volume de la boule est négligeable devant le volume de l'hypercube circonscrit, et cela quel que soit le coté de l'hypercube même si ce dernier a un coté plus petit que 1 et donc que son volume tend vers zéro quand la dimension croit, car le rapport des volumes de l'hypercube et de la boule tend vers l'infini quand la dimension de l'espace qui les abrite tend vers l'infini. Il vaut toujours mieux être un cube qu'une sphère quel que soit l'espace.

Ceci explique pourquoi les banquiers de la question précédente n'ont jamais de lingots sphériques.
Et aussi pourquoi dans les espaces à beaucoup de dimensions les marchands d'oranges occupent beaucoup de place pour empiler peu d'oranges.

Bibliographie

[BERG] Berger et Gostiaux, "Géométrie différentielle", Armand Colin, Collection U

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