• Termes inversibles en Lambda calcul
  mémoire de DEA
  Début et table des matières
  Introduction
  Chapitre 1
     survol du Lambda calcul
  Chapitre 2
     caractérisation des termes inversibles
  Chapitre 3
     termes inversibles à gauche et à droites
  Chapitre 4
     algorithme de reconnaissance des combinateurs inversibles
  Chapitre 5
     remarques et conclusion
  Annexe 1
     listing du programme
  Annexe 2
     session du programme
  Annexe 3
     (E,O) est une topologie non séparée
  Bibliographie
• Le nombre pi
  décimales et algorithmes
  
• Volume de l'hypersphère
  pourquoi les banquiers n'ont pas de lingots sphériques
  
• L'axiome du choix
  polémiques et paradoxes
  
• Fonctions continues sans dérivées
  les monstres qui effrayaient Charles Heremite
• Les géométries non euclidiennes
  D'Euclide à Poincaré, la saga des figures étranges
  
• 1+2+3+... = -1/12
  vu dans "Ciel et Espace" N0 238 page 32
  
• La logique formelle
  les formalismes des fondemants des mathématiques
  
• Mathématiques pour un anniversaire
  curieuses formules
  
• Mes bouquins de maths préférés
  de saines lectures pour les soirées d'hiver
  
• Liens et autres sites
  un petit tour chez les collègues
  

ANNEXE 3

(E, O) est une topologie non séparée.

(E, O) est une topologie. Une union quelconque d'ouverts est dans O
Soit {U_i} i∈ I une famille d'ouverts et U = ∪_{i∈ I} U_i.
Soit x ∈ U alors il existe un i tel que x ∈ U_i. Soit maintenant y tel que x < y alors y ∈ U_i par définition de U_i et donc y ∈ U.
Soit maintenant X un élément filtrant de E tel que SUP(X) ∈ U, alors il existe un i tel que SUP(X) ∈ U_i avec X ∩U_i ≠ ∅ et donc X ∩U ≠ ∅ par définition de U.
Une intersection finie d'ouverts est dans O
Soit {U_i} i ∈ J une famille finie d'ouverts et V = ∩_{i ∈ J} U_i.
Suposons V non vide¹ on peut donc choisir x ∈ V alors x ∈ U_i pour tout indice i. Soit maintenant y tel que x < y alors y ∈ U_i pour tout i, donc y ∈ V.
Si X est un élément filtrant de E tel que SUP(X) ∈ V, on a alors SUP(X) ∈ U_i pour tout i avec X ∩U_i ≠ ∅ pour tout i. Soit z_i un élément de X ∩U_i et considerons l'ensemble fini {z_i | i ∈ J}. Cet ensemble est inclus dans X par construction. X étant filtrant, cet ensemble admet un majorant, z qui est dans X. Or z_i < z pour tout i de J donc z ∈ U_i pour tout i de J par définition des ouverts U_i. Ainsi z ∈ X ∩(∩_{i ∈ J} U_i) et X ∩V ≠ ∅. (E, O) n'est pas séparée.
Rappelons qu'une topologie est dite séparée si pour toute paire d' éléments {x,y} il existe deux ouverts U₁ et U₂ tels que x ∈ U₁ ,y ∈ U₂ avec U₁ ∩U₂ = ∅. Dans le cas du treillis E l'ensemble {x,y} admet une borne supérieure notée z. On a donc x < z et y < z, ainsi z ∈ U₁ et z ∈ U₂ par définition des ouverts de cette topologie et ainsi U₁ ∩U₂ ≠ ∅.

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1

Les amateurs de logique ont déjà remarqué que l'ensemble vide vérifie les conditions 1 et 2 de la page 22

Bibliographie